Номер 21, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 21, страница 49.

Условие.

6.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $C(-2; 0; 1)$ и $D(1; 5; 0)$ параллельно оси $x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для составления уравнения плоскости нам необходима точка, через которую проходит плоскость, и вектор нормали к этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В качестве точки $M_0$ можно взять любую из данных точек, например, $C(-2; 0; 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, которые лежат в плоскости или параллельны ей. Найдем два таких вектора.

1. Поскольку плоскость проходит через точки $C$ и $D$, то вектор $\vec{CD}$ лежит в этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{CD} = (1 - (-2); 5 - 0; 0 - 1) = (3; 5; -1)$

2. По условию, плоскость параллельна оси $x$. Направляющий вектор оси $x$ — это единичный вектор $\vec{i} = (1; 0; 0)$. Следовательно, этот вектор параллелен искомой плоскости.

Теперь у нас есть два неколлинеарных вектора $\vec{CD}$ и $\vec{i}$, параллельные плоскости. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим этим векторам, следовательно, его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{i} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) - \vec{j}(3 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot 0 - 5 \cdot 1) = 0\vec{i} - 1\vec{j} - 5\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали имеет координаты $\vec{n} = (0; -1; -5)$.

Теперь мы можем составить уравнение плоскости, используя точку $C(-2; 0; 1)$ и вектор нормали $\vec{n} = (0; -1; -5)$:

$0(x - (-2)) + (-1)(y - 0) + (-5)(z - 1) = 0$

$0(x + 2) - y - 5(z - 1) = 0$

$-y - 5z + 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$y + 5z - 5 = 0$

Проверим, лежит ли точка $D(1; 5; 0)$ в полученной плоскости:

$5 + 5 \cdot 0 - 5 = 5 - 5 = 0$. Равенство выполняется, точка $D$ принадлежит плоскости.

Также проверим условие параллельности оси $x$. Плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ параллельна оси $x$, если коэффициент $A=0$. В нашем уравнении $y + 5z - 5 = 0$ коэффициент при $x$ равен нулю, значит, условие выполнено.

Ответ: $y + 5z - 5 = 0$.