Номер 15, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 15, страница 49.

Условие.

6.15. Найдите угол между плоскостями $2x - y + z - 3 = 0$ и $x + 2y - 3z + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали к этой плоскости.

Для первой плоскости, заданной уравнением $2x - y + z - 3 = 0$, вектор нормали будет $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$.

Для второй плоскости, заданной уравнением $x + 2y - 3z + 4 = 0$, вектор нормали будет $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$.

Косинус угла $\varphi$ между двумя плоскостями вычисляется по формуле косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-3) = 2 - 2 - 3 = -3$.

Далее найдем длины (модули) каждого из векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \varphi = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{\sqrt{4 \cdot 21}} = \frac{3}{2\sqrt{21}}$.

Таким образом, угол $\varphi$ между плоскостями равен арккосинусу этого значения:

$\varphi = \arccos\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)$.

Ответ: $\varphi = \arccos\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)$.