Номер 11, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 11, страница 49.

Условие.

6.11. Найдите уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек $M (-6; 3; 5)$ и $N (4; -7; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных точек, представляет собой плоскость, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину.

Пусть искомая точка имеет координаты $P(x; y; z)$. По условию задачи, расстояние от точки $P$ до точки $M(-6; 3; 5)$ равно расстоянию от точки $P$ до точки $N(4; -7; 1)$. Запишем это условие в виде равенства $PM = PN$.

Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов расстояний: $PM^2 = PN^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле:
$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Выразим квадраты расстояний $PM^2$ и $PN^2$:
$PM^2 = (x - (-6))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2$
$PN^2 = (x - 4)^2 + (y - (-7))^2 + (z - 1)^2 = (x - 4)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2$

Приравняем эти два выражения:
$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 4)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 12x + 36) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 10z + 25) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 14y + 49) + (z^2 - 2z + 1)$

Сократим одинаковые слагаемые $x^2$, $y^2$ и $z^2$ в обеих частях уравнения:
$12x + 36 - 6y + 9 - 10z + 25 = -8x + 16 + 14y + 49 - 2z + 1$

Перенесём все слагаемые с переменными в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$12x + 8x - 6y - 14y - 10z + 2z = 16 + 49 + 1 - 36 - 9 - 25$

Приведём подобные слагаемые:
$20x - 20y - 8z = 66 - 70$
$20x - 20y - 8z = -4$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:
$5x - 5y - 2z = -1$

Перенесём свободный член в левую часть, чтобы получить общее уравнение плоскости:
$5x - 5y - 2z + 1 = 0$

Ответ: $5x - 5y - 2z + 1 = 0$.