Номер 6, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 48.

Условие.

6.6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A $(3; -1; 2)$ и перпендикулярной прямой $BC$, если:

1) B $(2; 0; -3)$, C$(4; -1; -5)$;

2) B $(6; -7; -2)$, C $(9; -5; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный (перпендикулярный) вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию, искомая плоскость проходит через точку $A(3; -1; 2)$, следовательно, в уравнении мы можем принять $(x_0; y_0; z_0) = (3; -1; 2)$.

Также известно, что плоскость перпендикулярна прямой $BC$. Это означает, что направляющий вектор прямой $BC$, то есть вектор $\vec{BC}$, является нормальным вектором для нашей плоскости. Таким образом, $\vec{n} = \vec{BC}$.

1) $B(2; 0; -3)$, $C(4; -1; -5)$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$, который будет служить нормальным вектором $\vec{n}$ к плоскости:
$\vec{n} = \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (4 - 2; -1 - 0; -5 - (-3)) = (2; -1; -2)$.

Теперь, используя точку $A(3; -1; 2)$ и нормальный вектор $\vec{n} = (2; -1; -2)$, подставим их координаты в общее уравнение плоскости:
$2(x - 3) + (-1)(y - (-1)) + (-2)(z - 2) = 0$
$2(x - 3) - (y + 1) - 2(z - 2) = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x - 6 - y - 1 - 2z + 4 = 0$
$2x - y - 2z - 3 = 0$.
Ответ: $2x - y - 2z - 3 = 0$.

2) $B(6; -7; -2)$, $C(9; -5; 1)$

Аналогично первому пункту, найдем координаты вектора $\vec{BC}$:
$\vec{n} = \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (9 - 6; -5 - (-7); 1 - (-2)) = (3; 2; 3)$.

Подставим координаты точки $A(3; -1; 2)$ и полученного нормального вектора $\vec{n} = (3; 2; 3)$ в уравнение плоскости:
$3(x - 3) + 2(y - (-1)) + 3(z - 2) = 0$
$3(x - 3) + 2(y + 1) + 3(z - 2) = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$3x - 9 + 2y + 2 + 3z - 6 = 0$
$3x + 2y + 3z - 13 = 0$.
Ответ: $3x + 2y + 3z - 13 = 0$.