Номер 12, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 12, страница 49.

Условие.

6.12. Даны точки $M (3; a; -5)$ и $K (7; 1; a)$. При каком значении $a$ прямая $MK$ параллельна плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен вектору нормали к этой плоскости. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

1. Найдем координаты направляющего вектора прямой $MK$. Направляющий вектор $\vec{v}$ для прямой, проходящей через точки $M(3; a; -5)$ и $K(7; 1; a)$, находится как разность координат конца и начала отрезка:

$\vec{v} = \vec{MK} = (7 - 3; 1 - a; a - (-5)) = (4; 1 - a; a + 5)$

2. Определим вектор нормали (перпендикулярный вектор) $\vec{n}$ к плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$. Его координаты равны коэффициентам при $x, y, z$ в уравнении плоскости:

$\vec{n} = (4; -3; 1)$

3. Составим уравнение, исходя из условия перпендикулярности векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}$. Их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$

$v_x n_x + v_y n_y + v_z n_z = 0$

Подставим координаты векторов:

$4 \cdot 4 + (1 - a) \cdot (-3) + (a + 5) \cdot 1 = 0$

4. Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$16 - 3(1 - a) + a + 5 = 0$

$16 - 3 + 3a + a + 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые с $a$ и свободные члены:

$(3a + a) + (16 - 3 + 5) = 0$

$4a + 18 = 0$

$4a = -18$

$a = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5$

Таким образом, при значении $a = -4.5$ прямая $MK$ параллельна данной плоскости.

Ответ: $-4.5$.