Номер 5, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 5, страница 48.

Условие.

6.5. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от сторон квадрата.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Искомое геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до каждой из четырёх сторон квадрата одинаково.

Рассмотрим задачу с помощью свойств ГМТ.

1. Возьмём пару противоположных сторон квадрата, например, $AB$ и $CD$. Эти стороны лежат на параллельных прямых. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — это прямая, которая параллельна им и проходит ровно посередине между ними. Для квадрата это одна из его средних линий.

2. Аналогично, для другой пары противоположных сторон, $BC$ и $AD$, которые также лежат на параллельных прямых, ГМТ равноудалённых от них точек — это вторая средняя линия квадрата.

Точка, равноудалённая от всех четырёх сторон квадрата, должна удовлетворять обоим условиям одновременно. То есть, она должна принадлежать пересечению двух средних линий квадрата. Средние линии квадрата пересекаются в одной-единственной точке — центре квадрата.

Проверим этот вывод аналитическим методом.

Введём декартову систему координат так, чтобы вершины квадрата имели координаты $A(0, a)$, $B(a, a)$, $C(a, 0)$ и $D(0, 0)$, где $a$ — длина стороны квадрата. Тогда прямые, содержащие стороны квадрата, задаются уравнениями: $x=0$, $x=a$, $y=0$, $y=a$.

Пусть $P(x, y)$ — произвольная точка. Расстояние от точки $P$ до этих прямых вычисляется как:

• расстояние до прямой $AD$ ($x=0$): $d_1 = |x|$
• расстояние до прямой $BC$ ($x=a$): $d_2 = |x-a|$
• расстояние до прямой $CD$ ($y=0$): $d_3 = |y|$
• расстояние до прямой $AB$ ($y=a$): $d_4 = |y-a|$

Согласно условию, точка $P$ должна быть равноудалена от всех сторон, то есть должно выполняться равенство: $d_1 = d_2 = d_3 = d_4$.

Рассмотрим равенство $d_1 = d_2$:
$|x| = |x-a|$
Это равенство означает, что точка с координатой $x$ на числовой оси равноудалена от точек $0$ и $a$. Единственная такая точка — это середина отрезка $[0, a]$, то есть $x = a/2$.

Аналогично рассмотрим равенство $d_3 = d_4$:
$|y| = |y-a|$
Единственное решение этого уравнения — $y = a/2$.

Таким образом, только одна точка с координатами $(a/2, a/2)$ удовлетворяет системе уравнений. Эта точка является точкой пересечения средних линий и диагоналей квадрата, то есть его центром.

Ответ: искомое геометрическое место точек — это одна точка, являющаяся центром квадрата.