Номер 4, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4, страница 48.

Условие.

6.4. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от точек данной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Эта задача заключается в поиске множества всех точек (геометрического места точек), для каждой из которых расстояние до любой точки на данной окружности является одним и тем же. Другими словами, если $P$ — искомая точка, а $A$ и $B$ — любые две точки на окружности, то должно выполняться равенство $PA = PB$. Это равносильно тому, что существует такое число $k$, что для любой точки $A$ на окружности расстояние $PA = k$.

Решение задачи зависит от размерности пространства, в котором она рассматривается. Стандартно задачи об окружностях рассматриваются на плоскости, но для полноты решения приведем оба случая.

Решение на плоскости (в 2D)

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R > 0$. Пусть $P$ — произвольная точка на той же плоскости, а расстояние от нее до центра окружности равно $d = PO$.

Рассмотрим прямую, проходящую через точки $P$ и $O$. Эта прямая пересекает окружность в двух точках. Одна из них является ближайшей к $P$ точкой окружности, а другая — самой дальней. Минимальное расстояние от точки $P$ до точки на окружности равно $d_{min} = |PO - R| = |d - R|$, а максимальное — $d_{max} = PO + R = d + R$.

По условию, точка $P$ должна быть равноудалена от всех точек окружности. Это значит, что расстояние от $P$ до любой точки на окружности должно быть постоянным. Следовательно, минимальное и максимальное расстояния должны быть равны:

$d_{min} = d_{max}$

$|d - R| = d + R$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $d \ge R$, уравнение принимает вид $d - R = d + R$. Это приводит к равенству $-R = R$, или $2R=0$, что возможно только если $R=0$. Это случай, когда окружность вырождена в точку. Для невырожденной окружности ($R>0$) это невозможно.

2. Если $d < R$, уравнение принимает вид $R - d = d + R$. Это приводит к равенству $-d = d$, или $2d=0$, что означает $d=0$.

Единственное возможное решение для невырожденной окружности — $d=0$. Расстояние $d=PO=0$ означает, что точка $P$ совпадает с центром окружности $O$.

Проверка показывает, что центр окружности $O$ действительно равноудален от всех точек окружности; это расстояние по определению равно радиусу $R$.

Ответ: Центр данной окружности.

Решение в пространстве (в 3D)

Рассмотрим случай, когда окружность задана в трехмерном пространстве. Она лежит в некоторой плоскости $\pi$, имеет центр $O$ и радиус $R$.

Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек $P$ в пространстве, для которых расстояние до любой точки $A$ на окружности постоянно.

Рассмотрим прямую $l$, которая проходит через центр окружности $O$ и перпендикулярна плоскости $\pi$. Возьмем любую точку $P$ на этой прямой. Пусть расстояние от $P$ до центра $O$ равно $h$.

Для любой точки $A$ на окружности, отрезок $OA$ лежит в плоскости $\pi$, а отрезок $PO$ перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle POA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

По теореме Пифагора, квадрат расстояния $PA$ равен:

$PA^2 = PO^2 + OA^2 = h^2 + R^2$

Это означает, что расстояние $PA = \sqrt{h^2 + R^2}$ не зависит от выбора точки $A$ на окружности. Таким образом, любая точка на прямой $l$ удовлетворяет условию задачи.

Если же точка $P$ не лежит на этой прямой, то ее проекция $P'$ на плоскость $\pi$ не совпадет с центром $O$. Как показано в решении для плоскости, расстояния от $P'$ до разных точек окружности будут различны. А так как $PA = \sqrt{PP'^2 + P'A^2}$, то и расстояния $PA$ не будут одинаковыми.

Следовательно, в трехмерном пространстве искомое множество точек — это прямая, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.

Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.