Номер 9, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 48.

Условие.

9. Какой вид имеет уравнение плоскости?

Решение 1.

Решение 3.

Уравнение плоскости в трехмерном декартовом пространстве может быть представлено в различных видах в зависимости от исходных данных. Ниже приведены основные из них.

Общее уравнение плоскости

Это наиболее универсальная форма записи уравнения плоскости. Она имеет вид:
$Ax + By + Cz + D = 0$
Здесь $x, y, z$ — координаты произвольной точки на плоскости. Коэффициенты $A, B, C$ являются координатами вектора нормали $\vec{n} = \{A; B; C\}$, который перпендикулярен (ортогонален) данной плоскости. Важно, что хотя бы один из коэффициентов $A, B, C$ должен быть отличен от нуля. Свободный член $D$ отвечает за положение плоскости относительно начала координат. Если $D=0$, то плоскость проходит через начало координат.
Ответ: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Если известна точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$, принадлежащая плоскости, и вектор нормали $\vec{n} = \{A; B; C\}$, то уравнение плоскости можно записать в виде:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Это уравнение следует из условия перпендикулярности вектора нормали $\vec{n}$ и любого вектора $\vec{M_0M} = \{x-x_0; y-y_0; z-z_0\}$, лежащего в плоскости (где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости). Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.
Ответ: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Если плоскость однозначно задана тремя точками, не лежащими на одной прямой: $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, то ее уравнение можно найти из условия компланарности (принадлежности одной плоскости) векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости. Условие компланарности векторов заключается в том, что их смешанное произведение равно нулю, что в координатной форме записывается через определитель:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
Раскрыв этот определитель, мы получим общее уравнение плоскости.
Ответ: $\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси координат Ox, Oy и Oz в точках $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$ и $(0, 0, c)$ соответственно (где величины $a, b, c$ называются отрезками), то ее уравнение можно записать в виде:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
Эта форма удобна для быстрого построения плоскости. Она применима только для плоскостей, которые не проходят через начало координат и не параллельны ни одной из координатных осей (то есть $a, b, c$ не равны нулю).
Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.