Номер 3, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 47.

Условие.

3. Что является геометрическим местом точек, удалённых от данной плоскости на заданное расстояние?

Решение 1.

Решение 3.

Геометрическое место точек, удалённых от данной плоскости на заданное расстояние, представляет собой две плоскости, параллельные данной и расположенные по разные стороны от неё.

Рассмотрим это утверждение подробно. Пусть дана исходная плоскость $\alpha$ и заданное положительное расстояние $d > 0$. Нам необходимо найти множество всех точек пространства $M$, расстояние от которых до плоскости $\alpha$ равно $d$.

По определению, расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Точки, удовлетворяющие нашему условию, могут располагаться по обе стороны от плоскости $\alpha$.

Совокупность всех точек, которые находятся на расстоянии $d$ с одной стороны от плоскости $\alpha$, образует плоскость $\beta_1$. Эта плоскость будет параллельна исходной плоскости $\alpha$.

Аналогично, совокупность всех точек, которые находятся на расстоянии $d$ с другой (противоположной) стороны от плоскости $\alpha$, образует вторую плоскость $\beta_2$. Эта плоскость также будет параллельна плоскости $\alpha$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек является объединением двух плоскостей $\beta_1$ и $\beta_2$, которые параллельны данной плоскости $\alpha$ и отстоят от неё на расстояние $d$.

Ответ: Две плоскости, параллельные данной, расположенные по разные стороны от неё на заданном расстоянии.