Номер 40, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 40, страница 42.

Условие.

5.40. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 см, а диагональное сечение пирамиды равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано: правильная четырёхугольная пирамида.
Сторона основания $a = 2$ см.
Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ равна площади основания $S_{осн}$.

1. Нахождение площади основания и высоты пирамиды
Основание пирамиды — квадрат со стороной $a=2$ см. Его площадь:
$S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$ см$^2$.
Диагональное сечение пирамиды — это равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ квадрата $d$, а высотой — высота пирамиды $H$.
Найдём диагональ основания:
$d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Площадь диагонального сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot H = \sqrt{2}H$.
По условию $S_{сеч} = S_{осн}$, следовательно:
$\sqrt{2}H = 4$.
$H = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение апофемы пирамиды
Апофема ($h_s$) — это высота боковой грани. Её можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и самой апофемой (которая является гипотенузой).
Катеты этого треугольника: $H = 2\sqrt{2}$ см и $\frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
По теореме Пифагора:
$h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 8 + 1 = 9$.
$h_s = \sqrt{9} = 3$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$, где $P$ — периметр основания.
Периметр основания:
$P = 4a = 4 \cdot 2 = 8$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ см$^2$.

Ответ: $12$ см$^2$.