Номер 34, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 34, страница 41.

Условие.

5.34. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $BM$ и $BC_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Прямые $BM$ и $BC_1$ пересекаются в точке $B$, поэтому угол между ними равен углу $∠MBC_1$. Для нахождения этого угла воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $BA$, ось $Oy$ вдоль ребра $BC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $BB_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых нам точек:

• Точка $B$ является началом координат: $B(0; 0; 0)$.
• Точка $A$ лежит на оси $Ox$: $A(a; 0; 0)$.
• Точка $A_1$ получается сдвигом точки $A$ вдоль оси $Oz$ на $a$: $A_1(a; 0; a)$.
• Точка $C_1$ получается сдвигом точки $C(0; a; 0)$ вдоль оси $Oz$ на $a$: $C_1(0; a; a)$.

Точка $M$ является серединой ребра $AA_1$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:

$M\left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) \implies M\left(a; 0; \frac{a}{2}\right)$.

Теперь найдем векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BC_1}$, исходящие из точки $B$:

$\vec{BM} = \{a - 0; 0 - 0; \frac{a}{2} - 0\} = \left\{a; 0; \frac{a}{2}\right\}$.

$\vec{BC_1} = \{0 - 0; a - 0; a - 0\} = \{0; a; a\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{BM}$ и $\vec{BC_1}$ можно найти по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{BM}| \cdot |\vec{BC_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{BM} \cdot \vec{BC_1} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{BM}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$.