Номер 32, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 32, страница 41.

Условие.

5.32. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равна $a$, точка $M$ – середина ребра $B_1 C_1$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1 M}$;

2) $\vec{BM}$ и $\vec{A_1 M}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Таким образом, основание призмы $ABC$ будет лежать в плоскости $Oxy$.

Так как призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Определим координаты вершин призмы. Высоту призмы, которая не задана в условии, обозначим через $h$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(a; 0; 0)$
• Для нахождения координат точки $C$ учтем, что угол $\angle CAB = 60^\circ$. Тогда ее координаты: $x_C = AC \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$ и $y_C = AC \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $C(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0)$.

Координаты вершин верхнего основания получаются сдвигом по оси $Oz$ на $h$:

• $A_1(0; 0; h)$
• $B_1(a; 0; h)$
• $C_1(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; h)$

Точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат точек $B_1$ и $C_1$:

$M\left(\frac{a + a/2}{2}; \frac{0 + a\sqrt{3}/2}{2}; \frac{h+h}{2}\right) = M\left(\frac{3a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; h\right)$.

Теперь, имея координаты всех точек, можем найти координаты векторов и их скалярное произведение.

1) $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1M}$

Найдем координаты векторов, вычитая из координат конца координаты начала:

$\vec{AB_1} = (a - 0; 0 - 0; h - 0) = (a; 0; h)$.

$\vec{A_1M} = (\frac{3a}{4} - 0; \frac{a\sqrt{3}}{4} - 0; h - h) = (\frac{3a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; 0)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{p}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{q}(x_2; y_2; z_2)$ находится по формуле $\vec{p} \cdot \vec{q} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1M} = a \cdot \frac{3a}{4} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot 0 = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$.

2) $\vec{BM}$ и $\vec{A_1M}$

Найдем координаты вектора $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = (\frac{3a}{4} - a; \frac{a\sqrt{3}}{4} - 0; h - 0) = (-\frac{a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; h)$.

Координаты вектора $\vec{A_1M}$ уже известны: $\vec{A_1M} = (\frac{3a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{BM} \cdot \vec{A_1M} = \left(-\frac{a}{4}\right) \cdot \frac{3a}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot 0 = -\frac{3a^2}{16} + \frac{3a^2}{16} + 0 = 0$.

Ответ: $0$.