Номер 30, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 30, страница 41.

Условие.

5.30. Известно, что $\vec{a} = 4\vec{m} - 5\vec{n}$, $\vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n}$. Найдите угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $\vec{a} \perp \vec{b}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ воспользуемся данными задачи. Нам известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, а это значит, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Подставим в это равенство выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через $\vec{m}$ и $\vec{n}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4\vec{m} - 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):
$4\vec{m} \cdot 2\vec{m} + 4\vec{m} \cdot \vec{n} - 5\vec{n} \cdot 2\vec{m} - 5\vec{n} \cdot \vec{n} = 0$

Упростим полученное выражение. Учтём, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$) и что скалярное произведение коммутативно ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$):
$8(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5(\vec{n} \cdot \vec{n}) = 0$
$8|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5|\vec{n}|^2 = 0$

Согласно условию задачи, $|\vec{m}| = 1$ и $|\vec{n}| = 1$. Подставим эти значения в уравнение:
$8 \cdot (1)^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5 \cdot (1)^2 = 0$
$8 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5 = 0$
$3 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0$

Отсюда найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:
$6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 3$
$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Пусть $\alpha$ — искомый угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.
$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:
$\frac{1}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha)$
$\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).

Ответ: $60^\circ$.