Номер 33, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 33, страница 41.

Условие.

5.33. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб со стороной $a$ и острым углом $60^{\circ}$ при вершине $A$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CD_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем базисные векторы, исходящие из одной вершины A: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Из условия задачи нам известны свойства этих векторов:

1. Основание $ABCD$ — ромб со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$ при вершине A. Это значит, что длины векторов, лежащих на сторонах основания, равны $a$: $|\vec{b}| = a$, $|\vec{d}| = a$. Угол между этими векторами равен $\angle DAB = 60^\circ$.

2. Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой. Это означает, что боковые ребра перпендикулярны основанию. Следовательно, вектор $\vec{c}$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и векторам $\vec{b}$ и $\vec{d}$, лежащим в этой плоскости. Отсюда следует, что скалярные произведения $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ и $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{d}$:

$\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Также нам понадобится скалярный квадрат вектора $\vec{b}$:

$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = a^2$.

Теперь выразим искомые векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD_1}$ через наш базис.

Вектор $\vec{AC}$ — это диагональ ромба $ABCD$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма):

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$.

Вектор $\vec{CD_1}$ можно разложить по правилу "треугольника": $\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$.

В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и противонаправлены, поэтому $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.

В прямом параллелепипеде все боковые ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Таким образом, получаем разложение для вектора $\vec{CD_1}$:

$\vec{CD_1} = -\vec{b} + \vec{c}$.

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = (\vec{b} + \vec{d}) \cdot (-\vec{b} + \vec{c})$.

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = \vec{b} \cdot (-\vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{d} \cdot (-\vec{b}) + \vec{d} \cdot \vec{c}$

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = -(\vec{b} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{c}$

Подставим известные значения скалярных произведений базисных векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = -a^2 + 0 - \frac{a^2}{2} + 0 = -a^2 - \frac{a^2}{2} = -\frac{2a^2 + a^2}{2} = -\frac{3a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$