Номер 29, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 29, страница 41.

Условие.

5.29. Даны точки $A(2; -1; 4)$, $B(5; 1; 0)$ и $C(6; 1; 3)$. Найдите на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи даны точки $A(2; -1; 4)$, $B(5; 1; 0)$ и $C(6; 1; 3)$. Необходимо найти точку $D$ на оси $y$ такую, чтобы векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ были перпендикулярны.

Сначала найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала:
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (5 - 2; 1 - (-1); 0 - 4) = (3; 2; -4)$.

Точка $D$ лежит на оси $y$, поэтому ее координаты по осям $x$ и $z$ равны нулю. Обозначим ее координату по оси $y$ как $y_D$. Таким образом, точка $D$ имеет координаты $(0; y_D; 0)$.

Теперь найдем координаты вектора $\overrightarrow{CD}$:
$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (0 - 6; y_D - 1; 0 - 3) = (-6; y_D - 1; -3)$.

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ должны быть перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения нулю: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.
Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Подставим координаты наших векторов в формулу скалярного произведения:
$3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y_D - 1) + (-4) \cdot (-3) = 0$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $y_D$:
$-18 + 2y_D - 2 + 12 = 0$
$2y_D - 8 = 0$
$2y_D = 8$
$y_D = 4$.

Следовательно, искомая точка $D$ имеет координаты $(0; 4; 0)$.
Ответ: $D(0; 4; 0)$.