Номер 28, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 28, страница 41.

Условие.

5.28. Даны точки $A (0; -1; 1)$, $B (-2; 0; -1)$ и $C (-2; -1; 0)$. Найдите на оси z такую точку D, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи даны точки $A(0; -1; 1)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(-2; -1; 0)$. Необходимо найти на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

Так как точка $D$ лежит на оси $z$, её координаты по осям $x$ и $y$ равны нулю. Обозначим координаты точки $D$ как $(0; 0; z)$.

Для того чтобы найти координаты векторов, нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.

Найдем координаты вектора $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (-2 - 0; -1 - (-1); 0 - 1) = (-2; 0; -1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (0 - (-2); 0 - 0; z - (-1)) = (2; 0; z + 1)$.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. Подставим найденные координаты векторов в это уравнение:
$(-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = 0$.

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $z$:
$-4 + 0 - (z + 1) = 0$
$-4 - z - 1 = 0$
$-5 - z = 0$
$z = -5$.

Следовательно, искомая точка $D$ имеет координаты $(0; 0; -5)$.

Ответ: $D(0; 0; -5)$.