Номер 21, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 21, страница 40.

Условие.

5.21. Найдите угол между векторами $ \vec{a} = \vec{m} - \vec{n} $ и $ \vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} $, если $ |\vec{m}| = 1 $, $ |\vec{n}| = \sqrt{3} $, $ \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 30^\circ $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле, использующей скалярное произведение:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и модули (длины) векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, используя данные из условия: $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$ и угол между ними $\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 30^\circ$.

$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a} = \vec{m} - \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = \vec{m} \cdot \vec{m} + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - \vec{n} \cdot \vec{m} - 2(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Зная, что $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1^2 = 1$, $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = \frac{3}{2}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{m}|^2 + \vec{m} \cdot \vec{n} - 2|\vec{n}|^2 = 1 + \frac{3}{2} - 2 \cdot 3 = 1 + 1.5 - 6 = -3.5 = -\frac{7}{2}$.

Далее найдем модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Модуль вектора равен корню квадратному из его скалярного квадрата.

Для вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (\vec{m} - \vec{n})^2 = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$

$|\vec{a}|^2 = 1 - 2 \cdot \frac{3}{2} + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$

$|\vec{a}| = \sqrt{1} = 1$.

Для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{m} + 2\vec{n})^2 = |\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2$

$|\vec{b}|^2 = 1 + 4 \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot 3 = 1 + 6 + 12 = 19$

$|\vec{b}| = \sqrt{19}$.

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{-7/2}{1 \cdot \sqrt{19}} = -\frac{7}{2\sqrt{19}}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos\left(-\frac{7}{2\sqrt{19}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{7}{2\sqrt{19}}\right)$.