Номер 18, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 18, страница 40.

Условие.

5.18. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $M$ – середина ребра $AB$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{DC}$;

2) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\vec{CM}$ и $\vec{DC}$

Для решения задачи введем базисные векторы, исходящие из одной вершины, например, из вершины C: $\vec{CA} = \vec{u}$, $\vec{CB} = \vec{v}$, $\vec{CD} = \vec{w}$.

По условию, $DABC$ — правильный тетраэдр, следовательно, все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Это означает, что длины базисных векторов равны $a$, а углы между ними составляют $60^\circ$.

Найдем попарные скалярные произведения базисных векторов:
$|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{w}| = a$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
$\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}||\vec{w}|\cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$
$\vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}||\vec{w}|\cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Теперь выразим векторы $\vec{CM}$ и $\vec{DC}$ через базисные.
Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$:
$\vec{DC} = -\vec{CD} = -\vec{w}$

Точка $M$ — середина ребра $AB$. Вектор $\vec{CM}$ является медианой треугольника $ABC$. Вектор медианы, проведенной из вершины, равен полусумме векторов, проведенных из этой же вершины к концам стороны.
$\vec{CM} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CM}$ и $\vec{DC}$:
$\vec{CM} \cdot \vec{DC} = \left(\frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})\right) \cdot (-\vec{w}) = -\frac{1}{2}(\vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w})$

Подставим найденные ранее значения скалярных произведений:
$-\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = -\frac{1}{2}(a^2) = -\frac{a^2}{2}$

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$

2) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Используем тот же базис, что и в первом пункте: $\vec{CA} = \vec{u}$, $\vec{CB} = \vec{v}$, $\vec{CD} = \vec{w}$.

Выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ через базисные.
Вектор $\vec{CD}$ является одним из базисных векторов:
$\vec{CD} = \vec{w}$

Вектор $\vec{AB}$ можно выразить по правилу разности векторов:
$\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA} = \vec{v} - \vec{u}$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (\vec{v} - \vec{u}) \cdot \vec{w} = \vec{v} \cdot \vec{w} - \vec{u} \cdot \vec{w}$

Подставим значения скалярных произведений:
$\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$

Результат, равный нулю, означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ ортогональны (перпендикулярны). Это известное свойство скрещивающихся ребер правильного тетраэдра.

Ответ: $0$