Номер 20, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 20, страница 40.

Условие.

5.20. Найдите угол между векторами $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$, если $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ воспользуемся формулой, связывающей скалярное произведение векторов с их модулями и косинусом угла между ними: $ \cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} $ Для этого нам необходимо последовательно вычислить скалярное произведение $\vec{m} \cdot \vec{n}$ и модули векторов $|\vec{m}|$ и $|\vec{n}|$.

1. Вычисление вспомогательных величин

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по их модулям и углу между ними. По определению скалярного произведения: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) $ Из условия известно, что $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$, и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$. Значение косинуса: $ \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставляем значения в формулу: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2 $ Также нам понадобятся квадраты модулей векторов: $ |\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 $ $ |\vec{b}|^2 = 2^2 = 4 $

2. Вычисление скалярного произведения $\vec{m} \cdot \vec{n}$

Используя данные выражения для $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$, раскроем скобки: $ \vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{a} - 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) $ Учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ и $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$, упростим выражение: $ \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 $ Подставим вычисленные ранее значения: $ \vec{m} \cdot \vec{n} = 2 - (-2) - 2(4) = 2 + 2 - 8 = -4 $

3. Вычисление модулей векторов $|\vec{m}|$ и $|\vec{n}|$

Модуль вектора - это корень из его скалярного квадрата: $|\vec{x}| = \sqrt{\vec{x}^2}$. Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{m}$: $ |\vec{m}|^2 = \vec{m} \cdot \vec{m} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 $ $ |\vec{m}|^2 = 2 + 2(-2) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2 $ Отсюда, модуль вектора $\vec{m}$ равен: $ |\vec{m}| = \sqrt{2} $

Аналогично для вектора $\vec{n}$: $ |\vec{n}|^2 = \vec{n} \cdot \vec{n} = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 $ $ |\vec{n}|^2 = 2 - 4(-2) + 4(4) = 2 + 8 + 16 = 26 $ Отсюда, модуль вектора $\vec{n}$ равен: $ |\vec{n}| = \sqrt{26} $

4. Нахождение угла $\alpha$

Подставим все найденные величины в исходную формулу для косинуса угла: $ \cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{-4}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-4}{\sqrt{52}} $ Упростим знаменатель: $ \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} $. $ \cos(\alpha) = \frac{-4}{2\sqrt{13}} = -\frac{2}{\sqrt{13}} $ Искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $ \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right) $