Номер 26, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 26, страница 41.

Условие.

5.26. Каким треугольником, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, является треугольник с вершинами в точках $A (0; 1; 2)$, $B (-2; -1; 0)$ и $C (1; 0; 1)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по координатам его вершин, мы можем найти длины его сторон и использовать следствие из теоремы косинусов, либо найти косинусы его углов через скалярное произведение векторов.

Второй способ является более прямым. Знак скалярного произведения векторов, образующих угол, определяет тип этого угла:

• Если скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то косинус угла между векторами положителен, и угол — острый.
• Если скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, то косинус угла равен нулю, и угол — прямой.
• Если скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то косинус угла отрицателен, и угол — тупой.

Заданы вершины треугольника: $A(0; 1; 2)$, $B(-2; -1; 0)$ и $C(1; 0; 1)$.

1. Найдем векторы, образующие углы треугольника.

Найдем векторы, выходящие из каждой вершины.

Для угла A: векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 0; -1 - 1; 0 - 2) = (-2; -2; -2)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (1 - 0; 0 - 1; 1 - 2) = (1; -1; -1)$

Для угла B: векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

$\vec{BA} = - \vec{AB} = (2; 2; 2)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (1 - (-2); 0 - (-1); 1 - 0) = (3; 1; 1)$

Для угла C: векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

$\vec{CA} = - \vec{AC} = (-1; 1; 1)$

$\vec{CB} = - \vec{BC} = (-3; -1; -1)$

2. Вычислим скалярные произведения для каждого угла.

Проверка угла A:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = -2 + 2 + 2 = 2$

Так как скалярное произведение $2 > 0$, угол A является острым.

Проверка угла B:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 6 + 2 + 2 = 10$

Так как скалярное произведение $10 > 0$, угол B является острым.

Проверка угла C:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 3 - 1 - 1 = 1$

Так как скалярное произведение $1 > 0$, угол C является острым.

3. Вывод.

Все три угла треугольника (A, B и C) являются острыми, так как скалярные произведения векторов, образующих эти углы, положительны. Следовательно, данный треугольник является остроугольным.

Ответ: Треугольник является остроугольным.