Номер 31, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 31, страница 41.

Условие.

5.31. Известно, что $\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{n} = \vec{a} - 3\vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти из формулы скалярного произведения векторов:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Отсюда косинус искомого угла равен:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Нам известны модули векторов $|\vec{a}|=2$ и $|\vec{b}|=\sqrt{2}$. Чтобы найти угол, нам необходимо вычислить скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

По условию задачи векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность, коммутативность, и то, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$):$2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot 3\vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot 3\vec{b} = 0$$2|\vec{a}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0$$2|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим известные значения модулей $|\vec{a}|=2$ и $|\vec{b}|=\sqrt{2}$:$2 \cdot 2^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0$$2 \cdot 4 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot 2 = 0$$8 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6 = 0$$14 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Выразим отсюда скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:$7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 14$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

Теперь, когда мы знаем скалярное произведение, мы можем найти косинус угла $\alpha$:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.