Номер 37, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 37, страница 41.

Условие.

5.37. Основанием пирамиды $DABC$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AB = BC$, $\angle DBA = \angle DBC$. Докажите, что $BD \perp AC$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ΔDBA$ и $ΔDBC$. В этих треугольниках:

1. Сторона $DB$ — общая.

2. $AB = BC$ по условию, так как основание пирамиды $ΔABC$ — равнобедренный треугольник.

3. $∠DBA = ∠DBC$ по условию.

Следовательно, $ΔDBA ≅ ΔDBC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $DA = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔADC$. Так как $DA = DC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. Проведем в нем медиану $DH$ к основанию $AC$ (то есть $H$ — середина $AC$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $DH ⊥ AC$.

Рассмотрим основание пирамиды — треугольник $ΔABC$. По условию он равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC$, значит $AC$ — его основание. Отрезок $BH$ соединяет вершину $B$ с серединой основания $H$. Таким образом, $BH$ является медианой треугольника $ΔABC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Следовательно, $BH ⊥ AC$.

Мы получили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $H$ прямым $DH$ и $BH$. Эти две прямые определяют плоскость $(DBH)$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Отсюда следует, что $AC ⊥ (DBH)$.

Прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $(DBH)$, так как две ее точки, $B$ и $D$, принадлежат этой плоскости. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. Следовательно, $AC ⊥ BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $BD ⊥ AC$.