Номер 39, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 39, страница 41.

Условие.

5.39. Основание равнобедренного треугольника равно $\sqrt{3}$ см, а угол при основании равен $30^{\circ}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

где $a$ – сторона треугольника, а $\alpha$ – угол, противолежащий этой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник. Нам известна его основание $a = \sqrt{3}$ см и угол при основании, который равен $30^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, оба угла при основании составляют $30^\circ$.

Найдем угол $\alpha$, противолежащий основанию. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом:

$ \alpha = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Теперь у нас есть все данные для применения формулы: сторона $a = \sqrt{3}$ и противолежащий ей угол $\alpha = 120^\circ$.

$ 2R = \frac{\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)} $

Вычислим значение $\sin(120^\circ)$. Используя формулы приведения, получаем:

$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим это значение обратно в формулу:

$ 2R = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

$ 2R = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $

$ 2R = 2 $

$ R = 1 $ см.

Ответ: 1 см.