Номер 4, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4, страница 47.

Условие.

4. Что является геометрическим местом точек, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой. Это означает, что они являются вершинами треугольника ABC. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ) M, для которых выполняется равенство расстояний $MA = MB = MC$.

1. Равноудалённость от двух точек. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек (например, A и B), — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (AB). Обозначим этот перпендикуляр как $p_{AB}$. Любая точка, лежащая на $p_{AB}$, находится на одинаковом расстоянии от A и B.

Аналогично, ГМТ для точек B и C — это серединный перпендикуляр $p_{BC}$ к отрезку BC.

2. Равноудалённость от трёх точек. Искомая точка M должна быть равноудалена от всех трёх точек.

• Из условия $MA = MB$ следует, что точка M должна лежать на серединном перпендикуляре $p_{AB}$.
• Из условия $MB = MC$ следует, что точка M должна лежать на серединном перпендикуляре $p_{BC}$.

Следовательно, точка M должна быть точкой пересечения серединных перпендикуляров $p_{AB}$ и $p_{BC}$.

3. Пересечение серединных перпендикуляров. Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, прямые, содержащие отрезки AB и BC, не параллельны. Это значит, что их серединные перпендикуляры $p_{AB}$ и $p_{BC}$ также не параллельны, а значит, они пересекаются в одной и только одной точке. Обозначим эту точку O.

Для точки O выполняются следующие равенства:

• $OA = OB$, так как O лежит на $p_{AB}$.
• $OB = OC$, так как O лежит на $p_{BC}$.

Из этих равенств следует, что $OA = OB = OC$. Это доказывает, что точка O равноудалена от всех трёх точек A, B и C.

Точка, равноудалённая от всех вершин треугольника, является центром описанной около этого треугольника окружности. Таким образом, искомое геометрическое место состоит из единственной точки.

Ответ: Центр окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются эти три точки.