Номер 7, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 48.

Условие.

7. Что является геометрическим местом точек, принадлежащих двугранному углу и равноудалённых от его граней?

Решение 1.

Решение 3.

Геометрическим местом точек, принадлежащих двугранному углу и равноудалённых от его граней, является биссекторная плоскость (или биссектор) этого двугранного угла. Биссекторная плоскость — это плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит его на два равных по величине двугранных угла.

Докажем это утверждение.

Пусть двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $a$ (ребру). Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Мы ищем геометрическое место точек $M$, для которых расстояние до $\alpha$ равно расстоянию до $\beta$.

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей.

1. Каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней двугранного угла.

Пусть плоскость $\gamma$ является биссектором двугранного угла. Возьмём на ней произвольную точку $M$. Опустим из $M$ перпендикуляры $MA$ на плоскость $\alpha$ и $MB$ на плоскость $\beta$. Нужно доказать, что $|MA| = |MB|$.

Проведём через точку $M$ плоскость $\pi$, перпендикулярную ребру $a$. Пусть она пересекает ребро в точке $O$. Эта плоскость пересечёт грани $\alpha$ и $\beta$ по лучам $OA_1$ и $OB_1$, а биссекторную плоскость $\gamma$ — по лучу $OM$. Угол $\angle A_1OB_1$ является линейным углом двугранного угла, а луч $OM$ — его биссектрисой по определению биссекторной плоскости.

Так как $MA \perp \alpha$ и $MB \perp \beta$, то $MA$ и $MB$ перпендикулярны ребру $a$. Это означает, что отрезки $MA$ и $MB$ лежат в плоскости $\pi$, а точки $A$ и $B$ (основания перпендикуляров) лежат на лучах $OA_1$ и $OB_1$ соответственно. Таким образом, в плоскости $\pi$ мы имеем два прямоугольных треугольника $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ (с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$).

В этих треугольниках: общая гипотенуза $OM$ и равные острые углы $\angle MOA = \angle MOB$ (так как $OM$ — биссектриса). Следовательно, $\triangle OAM \cong \triangle OBM$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $|MA| = |MB|$.

2. Каждая точка, равноудалённая от граней двугранного угла, лежит в биссекторной плоскости.

Пусть точка $M$ внутри двугранного угла равноудалена от его граней, то есть длины перпендикуляров $|MA|$ (на плоскость $\alpha$) и $|MB|$ (на плоскость $\beta$) равны. Проведём через $M$ плоскость $\pi$, перпендикулярную ребру $a$ в точке $O$. Как показано выше, точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости.

Рассмотрим в плоскости $\pi$ прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $|MA| = |MB|$ по условию. Следовательно, $\triangle OAM \cong \triangle OBM$ по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что углы $\angle MOA$ и $\angle MOB$ равны. Это значит, что луч $OM$ является биссектрисой линейного угла $\angle AOB$. Так как точка $M$ была выбрана произвольно, все такие точки лежат на плоскости, проходящей через ребро $a$ и делящей двугранный угол пополам, то есть на биссекторной плоскости.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это биссекторная плоскость двугранного угла.

Ответ: Биссекторная плоскость двугранного угла.