Номер 2, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 2, страница 48.

Условие.

6.2. Точка A принадлежит биссектору двугранного угла и удалена от его граней на $\sqrt{6}$ см, а от ребра двугранного угла – на $2\sqrt{2}$ см. Найдите данный двугранный угол.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$ (ребро двугранного угла). Обозначим величину этого угла через $\phi$.

Точка $A$ принадлежит биссекторной плоскости этого угла. Для нахождения линейного угла двугранного угла выберем на ребре $l$ произвольную точку $O$ и проведем через нее плоскость $\pi$, перпендикулярную ребру $l$. Для удобства выберем точку $O$ так, чтобы она была основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. В этом случае отрезок $AO$ является расстоянием от точки $A$ до ребра $l$, и по условию $AO = 2\sqrt{2}$ см. Также по построению $AO \perp l$.

Плоскость $\pi$ пересекает грани $\alpha$ и $\beta$ по лучам $OB$ и $OC$ соответственно. Угол $\angle BOC$ является линейным углом данного двугранного угла, то есть $\angle BOC = \phi$.

Поскольку точка $A$ лежит на биссекторной плоскости двугранного угла, а луч $AO$ лежит в этой плоскости, то $AO$ является биссектрисой линейного угла $\angle BOC$. Следовательно, $\angle AOB = \frac{\phi}{2}$.

Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AB'$ на грань $\alpha$. По условию, его длина $AB' = \sqrt{6}$ см. Теперь рассмотрим связь между отрезками $AO$, $AB'$ и $OB$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $AO \perp l$ и $AB' \perp \alpha$ (а значит $AB' \perp l$), то проекция $AO$ на плоскость $\alpha$, то есть $OB'$, также будет перпендикулярна ребру $l$. Точка $B'$ совпадает с точкой $B$ на луче, который мы построили ранее. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (прямой угол $\angle ABO$), в котором $AB$ — это расстояние от точки $A$ до грани $\alpha$, а $AO$ — расстояние от точки $A$ до ребра $l$.

Итак, в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ известны:

• гипотенуза $AO = 2\sqrt{2}$ см;
• катет $AB = \sqrt{6}$ см;
• угол $\angle AOB = \frac{\phi}{2}$, противолежащий катету $AB$.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике, получаем:

$\sin(\angle AOB) = \frac{AB}{AO}$

Подставим известные значения:

$\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого уравнения находим половину искомого угла:

$\frac{\phi}{2} = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$

Тогда величина всего двугранного угла $\phi$ равна:

$\phi = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.