Номер 9, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 48.

Условие.

6.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $\mathit{M}(0; 4; 0)$ и перпендикулярной оси ординат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, записывается в следующем виде:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Из условия задачи нам дано, что плоскость проходит через точку $M$ с координатами $(0; 4; 0)$. Таким образом, мы имеем $x_0 = 0$, $y_0 = 4$ и $z_0 = 0$.

Также по условию плоскость перпендикулярна оси ординат (оси OY). Направляющий вектор оси OY — это единичный вектор $\vec{j}$, который имеет координаты $(0; 1; 0)$.

Поскольку искомая плоскость перпендикулярна оси OY, её нормальный вектор $\vec{n}$ будет коллинеарен направляющему вектору оси OY, вектору $\vec{j}$. Следовательно, в качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор $\vec{n} = \vec{j} = (0; 1; 0)$.

Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости будут: $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Теперь подставим известные значения координат точки $M(0; 4; 0)$ и компонент нормального вектора $\vec{n}=(0; 1; 0)$ в общее уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 0) + 1 \cdot (y - 4) + 0 \cdot (z - 0) = 0$

Упрощая это выражение, получаем:

$y - 4 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $y - 4 = 0$.