Номер 16, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 16, страница 49.

Условие.

6.16. Перпендикулярны ли плоскости:

1) $2x + 5y - z + 7 = 0$ и $3x - 2y - 4z - 9 = 0;$

2) $6x - y + 8 = 0$ и $y - 6z - 8 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются перпендикулярными, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$.

Проверим это условие для каждой пары плоскостей.

1) $2x + 5y - z + 7 = 0$ и $3x - 2y - 4z - 9 = 0$

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$: $\vec{n_1} = (2, 5, -1)$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -2, -4)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

2) $6x - y + 8 = 0$ и $y - 6z - 8 = 0$

Для первой плоскости $6x - y + 0z + 8 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (6, -1, 0)$.

Для второй плоскости $0x + y - 6z - 8 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -6)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 6 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-6) = 0 - 1 + 0 = -1$.

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов не равно нулю ($-1 \neq 0$), плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.