Номер 22, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 22, страница 49.

Условие.

6.22. Найдите расстояние от точки A (1; 2; -3) до плоскости $x + 3y + 2z - 29 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения расстояния $d$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае даны точка $A(1; 2; -3)$ и плоскость $x + 3y + 2z - 29 = 0$.

Координаты точки: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -3$.

Коэффициенты уравнения плоскости: $A = 1$, $B = 3$, $C = 2$, $D = -29$.

Подставим эти значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 29|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2}}$

Вычислим значение числителя:

$|1 + 6 - 6 - 29| = |1 - 29| = |-28| = 28$

Вычислим значение знаменателя:

$\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

Таким образом, расстояние равно:

$d = \frac{28}{\sqrt{14}}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{28\sqrt{14}}{14} = 2\sqrt{14}$

Ответ: $2\sqrt{14}$