Номер 18, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 18, страница 49.

Условие.

6.18. Найдите уравнение образа плоскости $x + y - z + 3 = 0$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0, 0, 0)$ и коэффициентом $k$ отображает точку $M(x, y, z)$ в точку $M'(x', y', z')$ таким образом, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. В координатной форме это записывается как:

$x' = kx$
$y' = ky$
$z' = kz$

По условию задачи, центр гомотетии находится в начале координат, а коэффициент $k = -2$. Следовательно, формулы преобразования координат имеют вид:

$x' = -2x$
$y' = -2y$
$z' = -2z$

Чтобы найти уравнение образа плоскости, нам нужно выразить координаты $(x, y, z)$ произвольной точки исходной плоскости через координаты $(x', y', z')$ ее образа.

Из приведенных выше соотношений получаем:

$x = -\frac{x'}{2}$
$y = -\frac{y'}{2}$
$z = -\frac{z'}{2}$

Теперь подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости $x + y - z + 3 = 0$:

$(-\frac{x'}{2}) + (-\frac{y'}{2}) - (-\frac{z'}{2}) + 3 = 0$

Упростим полученное уравнение:

$-\frac{x'}{2} - \frac{y'}{2} + \frac{z'}{2} + 3 = 0$

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $-2$:

$(-2) \cdot (-\frac{x'}{2}) + (-2) \cdot (-\frac{y'}{2}) + (-2) \cdot (\frac{z'}{2}) + (-2) \cdot 3 = (-2) \cdot 0$

$x' + y' - z' - 6 = 0$

Это уравнение является уравнением образа плоскости. По традиции, в итоговом уравнении штрихи у координат опускают, заменяя $(x', y', z')$ на $(x, y, z)$.

Ответ: $x + y - z - 6 = 0$