Номер 24, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 24, страница 49.

Условие.

6.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $A (1; 2; 3)$, $B (4; 1; 2)$ и $C (2; -1; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки $A(1; 2; 3)$, $B(4; 1; 2)$ и $C(2; -1; 1)$, мы можем использовать следующий метод:
1. Найти два вектора, лежащих в этой плоскости, используя заданные точки. Например, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
2. Найти нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение этих двух векторов ($\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$).
3. Записать уравнение плоскости, используя координаты нормального вектора и координаты одной из точек.

1. Нахождение векторов в плоскости
Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4-1; 1-2; 2-3) = (3; -1; -1)$
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (2-1; -1-2; 1-3) = (1; -3; -2)$

2. Нахождение нормального вектора
Нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) - (-1)(-3)) - \mathbf{j}(3(-2) - (-1)(1)) + \mathbf{k}(3(-3) - (-1)(1))$
$\vec{n} = \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-6 + 1) + \mathbf{k}(-9 + 1) = -1\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 8\mathbf{k}$
Таким образом, нормальный вектор имеет координаты $\vec{n} = (-1; 5; -8)$.

3. Составление уравнения плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Подставим координаты точки $A(1; 2; 3)$ и нормального вектора $\vec{n} = (-1; 5; -8)$:
$-1(x - 1) + 5(y - 2) - 8(z - 3) = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$-x + 1 + 5y - 10 - 8z + 24 = 0$
$-x + 5y - 8z + 15 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на -1:
$x - 5y + 8z - 15 = 0$

Проверим, принадлежат ли точки B и C этой плоскости:
Для точки B(4; 1; 2): $4 - 5(1) + 8(2) - 15 = 4 - 5 + 16 - 15 = 0$. Верно.
Для точки C(2; -1; 1): $2 - 5(-1) + 8(1) - 15 = 2 + 5 + 8 - 15 = 0$. Верно.

Ответ: $x - 5y + 8z - 15 = 0$.