Номер 27, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 27, страница 50.

Условие.

6.27. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 24 см, а высота – 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ – основания. По условию, меньшее основание $BC = 10$ см, большее основание $AD = 24$ см, а высота $h = 17$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя ее вершинами. Рассмотрим треугольник $ABD$. Радиус $R$ описанной около него окружности можно найти по формуле:

$R = \frac{s_1 \cdot s_2 \cdot s_3}{4S}$

где $s_1, s_2, s_3$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

1. Найдем стороны треугольника $ABD$.

Одна сторона известна: $AD = 24$ см.

Для нахождения боковой стороны $AB$ и диагонали $BD$ проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:

$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 7^2 + 17^2 = 49 + 289 = 338$

$AB = \sqrt{338}$ см.

Теперь найдем диагональ $BD$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $HD$ равен:

$HD = AD - AH = 24 - 7 = 17$ см.

По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 17^2 + 17^2 = 2 \cdot 17^2$

$BD = \sqrt{2 \cdot 17^2} = 17\sqrt{2}$ см.

Итак, стороны треугольника $ABD$ равны $AD = 24$ см, $AB = \sqrt{338}$ см, $BD = 17\sqrt{2}$ см.

2. Найдем площадь треугольника $ABD$.

Основание треугольника $AD = 24$ см, а высота, проведенная к этому основанию, – это высота трапеции $BH = 17$ см.

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 17 = 12 \cdot 17 = 204$ см².

3. Найдем радиус описанной окружности.

Подставим найденные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{AB \cdot BD \cdot AD}{4S_{ABD}} = \frac{\sqrt{338} \cdot 17\sqrt{2} \cdot 24}{4 \cdot 204}$

Упростим выражение. Заметим, что $\sqrt{338} = \sqrt{169 \cdot 2} = 13\sqrt{2}$.

$R = \frac{13\sqrt{2} \cdot 17\sqrt{2} \cdot 24}{4 \cdot 204} = \frac{13 \cdot 17 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 24}{816} = \frac{13 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 24}{816} = \frac{13 \cdot 17 \cdot 48}{816}$

Так как $816 = 4 \cdot 204 = 4 \cdot 12 \cdot 17 = 48 \cdot 17$, то:

$R = \frac{13 \cdot 17 \cdot 48}{17 \cdot 48} = 13$ см.

Ответ: 13 см.