Номер 20, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 20, страница 49.

Условие.

6.20. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $A (1; -2; 1)$ и $B (4; 1; 3)$ параллельно оси $y$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для составления уравнения плоскости необходимо найти точку, через которую проходит плоскость, и вектор нормали к этой плоскости. В качестве точки можно использовать любую из заданных, например, точку A(1; -2; 1).

Вектор нормали $\vec{n} = (a, b, c)$ к плоскости перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, которые лежат в этой плоскости. Найдем два таких вектора.

1. Первый вектор можно найти, соединив точки A и B, так как обе они лежат в плоскости. Вектор $\vec{AB}$ будет принадлежать искомой плоскости. Вычислим его координаты:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - 1; 1 - (-2); 3 - 1) = (3; 3; 2)$.

2. Второй вектор можно определить из условия, что плоскость параллельна оси $y$. Это значит, что направляющий вектор оси $y$ параллелен нашей плоскости. В качестве такого вектора возьмем единичный вектор (орт) оси $y$, который имеет координаты $\vec{j} = (0; 1; 0)$.

Теперь у нас есть два неколлинеарных вектора $\vec{AB} = (3; 3; 2)$ и $\vec{j} = (0; 1; 0)$, которые параллельны искомой плоскости.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение этих двух векторов, поскольку он будет перпендикулярен им обоим:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{j} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Вычислим определитель:

$\vec{n} = \vec{i}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - \vec{j}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + \vec{k}(3 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = -2\vec{i} - 0\vec{j} + 3\vec{k} = (-2; 0; 3)$.

Итак, мы имеем вектор нормали $\vec{n} = (-2; 0; 3)$ и точку на плоскости A(1; -2; 1). Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $(a; b; c)$, имеет вид:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Подставим наши значения:

$-2(x - 1) + 0(y - (-2)) + 3(z - 1) = 0$

$-2(x - 1) + 3(z - 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2x + 2 + 3z - 3 = 0$

$-2x + 3z - 1 = 0$

Для более удобной записи умножим все уравнение на -1:

$2x - 3z + 1 = 0$

Выполним проверку.
1. Проверим, принадлежит ли точка A(1; -2; 1) плоскости: $2(1) - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$. Верно.
2. Проверим, принадлежит ли точка B(4; 1; 3) плоскости: $2(4) - 3(3) + 1 = 8 - 9 + 1 = 0$. Верно.
3. Проверим параллельность оси $y$. Вектор нормали $\vec{n} = (2; 0; -3)$ перпендикулярен направляющему вектору оси $y$ $\vec{j} = (0; 1; 0)$, так как их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{j} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 = 0$. Условие выполняется.

Ответ: $2x - 3z + 1 = 0$.