Номер 14, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 14, страница 49.

Условие.

6.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; -9) параллельно плоскости $x + y - 5z + 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A; B; C)$ — вектор нормали к этой плоскости.

Заданная плоскость имеет уравнение $x + y - 5z + 3 = 0$. Ее вектор нормали имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$ и $z$. Таким образом, вектор нормали для данной плоскости — $\vec{n} = (1; 1; -5)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна данной плоскости, их векторы нормали коллинеарны. Это означает, что для искомой плоскости можно использовать тот же самый вектор нормали $\vec{n} = (1; 1; -5)$.

Следовательно, уравнение искомой плоскости можно записать в виде:$1 \cdot x + 1 \cdot y - 5 \cdot z + D = 0$или$x + y - 5z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, воспользуемся условием, что плоскость проходит через точку $M(2; 3; -9)$. Подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:

$2 + 3 - 5(-9) + D = 0$

$5 + 45 + D = 0$

$50 + D = 0$

$D = -50$

Теперь подставим найденное значение $D$ обратно в уравнение плоскости:$x + y - 5z - 50 = 0$.

Ответ: $x + y - 5z - 50 = 0$.