Номер 10, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 10, страница 48.

Условие.

6.10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $K (0; 0; -3)$ и параллельной плоскости $xy$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся общим уравнением плоскости, проходящей через заданную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с известным вектором нормали $\vec{n} = (A; B; C)$:$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В условии задачи дана точка $K(0; 0; -3)$, через которую проходит плоскость. Таким образом, $x_0=0$, $y_0=0$, $z_0=-3$.

Также дано, что искомая плоскость параллельна координатной плоскости $xy$. Уравнение плоскости $xy$ — это $z = 0$. В общем виде это уравнение можно записать как $0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + 0 = 0$. Вектор нормали к плоскости $xy$ имеет координаты $\vec{n}_{xy} = (0; 0; 1)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости $xy$, их векторы нормали будут коллинеарны. Значит, в качестве вектора нормали для искомой плоскости можно взять вектор $\vec{n} = (0; 0; 1)$. Таким образом, $A=0$, $B=0$, $C=1$.

Подставим координаты точки $K$ и вектора нормали $\vec{n}$ в общее уравнение плоскости:$0(x - 0) + 0(y - 0) + 1(z - (-3)) = 0$

Упростим полученное выражение:$0 + 0 + z + 3 = 0$$z + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости. Оно означает, что все точки этой плоскости имеют координату $z$, равную $-3$, что соответствует плоскости, параллельной $xy$ и проходящей через точку $(0; 0; -3)$.

Ответ: $z + 3 = 0$