Номер 3, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 48.

Условие.

6.3. Точка $B$ принадлежит биссектору прямого двугранного угла и удалена от его граней на 4 см. Найдите расстояние от точки $B$ до ребра двугранного угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть данный прямой двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $e$ (ребро двугранного угла). По определению прямого двугранного угла, угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ составляет $90^\circ$.

Точка $B$ принадлежит биссектору (биссекторной плоскости) этого угла. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. По условию, расстояние от точки $B$ до каждой из граней равно 4 см.

Опустим из точки $B$ перпендикуляры на грани $\alpha$ и $\beta$. Пусть $BA$ — перпендикуляр к грани $\alpha$ (точка $A$ лежит на грани $\alpha$), и $BC$ — перпендикуляр к грани $\beta$ (точка $C$ лежит на грани $\beta$). Тогда, согласно условию:
$BA = 4$ см
$BC = 4$ см

Требуется найти расстояние от точки $B$ до ребра $e$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BO$ на ребро $e$ (точка $O$ лежит на ребре $e$). Длина отрезка $BO$ — искомое расстояние.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку $B$ и перпендикулярную ребру $e$. Эта плоскость пересечет ребро $e$ в точке $O$. По построению, отрезок $BO$ лежит в этой плоскости.

Поскольку $BA \perp \alpha$ и прямая $e$ лежит в плоскости $\alpha$ ($e \subset \alpha$), то $BA \perp e$.
Аналогично, поскольку $BC \perp \beta$ и $e \subset \beta$, то $BC \perp e$.

Таким образом, прямые $BO$, $BA$ и $BC$ выходят из одной точки $B$ и все перпендикулярны одной и той же прямой $e$. Следовательно, все они лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна прямой $e$. Это означает, что точки $O, A, B, C$ лежат в одной плоскости.

Рассмотрим четырехугольник $OABC$, лежащий в этой плоскости:
1. Угол $\angle AOC$ является линейным углом двугранного угла, так как его стороны $OA$ и $OC$ лежат в гранях $\alpha$ и $\beta$ соответственно и перпендикулярны ребру $e$. Следовательно, $\angle AOC = 90^\circ$.
2. Так как $BA$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $OA$ лежит в этой плоскости, то $BA \perp OA$. Следовательно, $\angle OAB = 90^\circ$.
3. Аналогично, так как $BC$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а прямая $OC$ лежит в этой плоскости, то $BC \perp OC$. Следовательно, $\angle OCB = 90^\circ$.

Четырехугольник $OABC$, у которого три угла прямые, является прямоугольником. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому:
$OA = BC = 4$ см
$OC = BA = 4$ см

Поскольку у прямоугольника $OABC$ смежные стороны равны ($OA = OC = 4$ см), он является квадратом со стороной 4 см.

Искомое расстояние $BO$ является диагональю этого квадрата. Длину диагонали можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle OAB$:
$BO^2 = OA^2 + AB^2$
$BO^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$
$BO = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.