Номер 10, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 10, страница 48.

Условие.

10. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через начало координат?

Решение 1.

Решение 3.

Общее уравнение плоскости в трехмерном декартовом пространстве имеет вид:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где $A, B, C$ — координаты вектора нормали к плоскости (причем хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю), а $D$ — свободный член, который определяет смещение плоскости относительно начала координат.

Условие, что плоскость проходит через начало координат, означает, что точка с координатами $O(0, 0, 0)$ принадлежит этой плоскости. Следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости.

Подставим координаты начала координат $(x=0, y=0, z=0)$ в общее уравнение плоскости:

$A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0$

Выполнив умножение, получаем:

$0 + 0 + 0 + D = 0$

Отсюда следует, что $D = 0$.

Таким образом, для любой плоскости, проходящей через начало координат, свободный член в ее общем уравнении равен нулю. Подставив $D=0$ в исходное уравнение, мы получаем искомый вид:

$Ax + By + Cz = 0$

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид $Ax + By + Cz = 0$, где коэффициенты $A, B, C$ не равны нулю одновременно.