Номер 8, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 48.

Условие.

8. Что называют уравнением фигуры $F$, заданной в координатном пространстве $xyz$?

Решение 1.

Решение 3.

Уравнением фигуры $F$ в трехмерном координатном пространстве $xyz$ называется такое уравнение с тремя переменными $x, y, z$, которое обращается в верное равенство тогда и только тогда, когда в него подставлены координаты точки, принадлежащей фигуре $F$.

Более формально, уравнение вида $f(x, y, z) = 0$ является уравнением фигуры $F$, если одновременно выполняются два условия:

1. Для любой точки $M(x_0; y_0; z_0)$, принадлежащей фигуре $F$, ее координаты удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке в него получается верное числовое равенство: $f(x_0, y_0, z_0) = 0$.

2. Для любой точки $N(x_1; y_1; z_1)$, не принадлежащей фигуре $F$, ее координаты не удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке получается неверное равенство: $f(x_1, y_1, z_1) \neq 0$.

Таким образом, фигура $F$ представляет собой множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. В трехмерном пространстве уравнение с тремя переменными, как правило, задает некоторую поверхность.

Например, уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0$ задает сферу с центром в начале координат и радиусом $R$. Координаты любой точки на этой сфере удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на ней, — не удовлетворяют.

Ответ: Уравнением фигуры $F$ в координатном пространстве $xyz$ называется уравнение с тремя переменными $x, y, z$, которому удовлетворяют координаты каждой точки, принадлежащей фигуре $F$, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой фигуре.