Номер 1, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 1, страница 47.

Условие.

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?

Решение 1.

Решение 3.

1.

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) называется множество всех точек, которые обладают определённым заданным свойством.

Чтобы доказать, что некоторая фигура $F$ является геометрическим местом точек, удовлетворяющих свойству $P$, необходимо доказать два взаимно обратных утверждения:

1. Каждая точка фигуры $F$ обладает свойством $P$.
2. Каждая точка, обладающая свойством $P$, принадлежит фигуре $F$. (Или, другими словами, ни одна точка вне фигуры $F$ свойством $P$ не обладает).

Рассмотрим несколько классических примеров ГМТ:

• Окружность – это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки (центра) равно заданному положительному числу (радиусу). Если центр окружности – точка $O$, а радиус равен $R$, то для любой точки $M$, принадлежащей окружности, выполняется равенство $OM = R$.
• Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов этого отрезка. Для любой точки $M$, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, выполняется равенство $MA = MB$.
• Биссектриса угла (неразвернутого) – это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон.
• Пара параллельных прямых – это геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной прямой на заданное расстояние $h > 0$.

Ответ: Геометрическим местом точек называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.