Номер 36, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 36, страница 41.

Условие.

5.36. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $M$ и $K$ — соответственно середины рёбер $AA_1$ и $AD$, точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Докажите, что прямые $B_1K$ и $MO$ перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства перпендикулярности прямых $B_1K$ и $MO$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Найдем координаты необходимых для решения точек в этой системе:

$A(a, 0, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $A_1(a, 0, a)$, $B_1(a, a, a)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$.

Исходя из условия задачи, найдем координаты точек $M$, $K$ и $O$.

Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $M(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}) = M(a; 0; \frac{a}{2})$.

Точка $K$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $K(\frac{a+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}) = K(\frac{a}{2}; 0; 0)$.

Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$, который является серединой диагонали $CD_1$. Ее координаты: $O(\frac{0+0}{2}; \frac{a+0}{2}; \frac{0+a}{2}) = O(0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$.

Теперь определим координаты направляющих векторов для прямых $B_1K$ и $MO$.

Вектор $\vec{B_1K}$ имеет координаты, равные разности координат точки $K$ и точки $B_1$:

$\vec{B_1K} = (\frac{a}{2} - a; 0 - a; 0 - a) = (-\frac{a}{2}; -a; -a)$.

Вектор $\vec{MO}$ имеет координаты, равные разности координат точки $O$ и точки $M$:

$\vec{MO} = (0 - a; \frac{a}{2} - 0; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}) = (-a; \frac{a}{2}; 0)$.

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{B_1K}$ и $\vec{MO}$:

$\vec{B_1K} \cdot \vec{MO} = (-\frac{a}{2}) \cdot (-a) + (-a) \cdot (\frac{a}{2}) + (-a) \cdot 0$

$\vec{B_1K} \cdot \vec{MO} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, а значит и прямые $B_1K$ и $MO$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $B_1K$ и $MO$ перпендикулярны.