Номер 2, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 2, страница 47.

Условие.

2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы можно было утверждать, что некоторое множество точек является геометрическим местом точек?

Решение 1.

Решение 3.

Чтобы утверждать, что некоторое множество точек (фигура $F$) является геометрическим местом точек (ГМТ) с определённым свойством $P$, необходимо доказать две взаимно обратные теоремы:

1. Прямая теорема: Каждая точка, принадлежащая множеству $F$, обладает свойством $P$. Это доказывает, что все точки рассматриваемого множества удовлетворяют заданному условию.

   Символически: если точка $X \in F$, то $X$ обладает свойством $P$.

2. Обратная теорема: Каждая точка, обладающая свойством $P$, принадлежит множеству $F$. Это доказывает, что никакие другие точки, кроме точек множества $F$, не обладают свойством $P$, то есть множество $F$ содержит все точки с этим свойством.

   Символически: если точка $Y$ обладает свойством $P$, то $Y \in F$.

Только доказательство обеих теорем позволяет сделать вывод, что множество $F$ состоит из всех точек, обладающих свойством $P$, и только из них, и, следовательно, является искомым геометрическим местом точек.

Ответ: Необходимо доказать две теоремы: 1) прямую — что каждая точка рассматриваемого множества обладает заданным свойством; и 2) обратную — что каждая точка, обладающая заданным свойством, принадлежит рассматриваемому множеству.