Номер 5, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 5, страница 47.

Условие.

5. Что является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?

Решение 1.

Решение 3.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. Серединный перпендикуляр — это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Чтобы доказать это, необходимо показать два утверждения:

1. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
2. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство:

1. Пусть дан отрезок $AB$ и точка $M$, такая что расстояние от неё до точки $A$ равно расстоянию до точки $B$, то есть $MA = MB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как две его стороны равны ($MA=MB$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Проведём из вершины $M$ медиану $MC$ к середине $C$ отрезка $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MC$ перпендикулярна $AB$ ($MC \perp AB$). Таким образом, точка $M$ лежит на прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной ему, то есть на серединном перпендикуляре.

2. Теперь рассмотрим любую точку $N$, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $C$ — середина отрезка $AB$. По определению серединного перпендикуляра, прямая $NC$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину, то есть $AC = CB$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ANC$ и $\triangle BNC$ (они прямоугольные, так как $NC \perp AB$). У этих треугольников общий катет $NC$, а катеты $AC$ и $CB$ равны. Следовательно, треугольники $\triangle ANC$ и $\triangle BNC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $NA = NB$. Это означает, что любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка $AB$.

Таким образом, множество всех точек, равноудалённых от концов отрезка, в точности совпадает с множеством точек его серединного перпендикуляра.

Ответ: серединный перпендикуляр к отрезку.