Номер 35, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 35, страница 41.

Условие.

5.35. Точка $O$ – центр грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $OC$ и $B_1D$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин будут:

$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$.

Отсюда находим координаты нужных нам точек:

$C = B + \vec{AD} = (a, a, 0)$

$B_1 = B + \vec{AA_1} = (a, 0, a)$

Точка $O$ — центр грани $AA_1B_1B$, является серединой диагонали $AB_1$. Найдем ее координаты:

$O = \left(\frac{x_A + x_{B_1}}{2}, \frac{y_A + y_{B_1}}{2}, \frac{z_A + z_{B_1}}{2}\right) = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right)$.

Угол между скрещивающимися прямыми $OC$ и $B_1D$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты этих векторов:

Направляющий вектор прямой $OC$:

$\vec{u} = \vec{OC} = \{x_C - x_O; y_C - y_O; z_C - z_O\} = \{a - \frac{a}{2}; a - 0; 0 - \frac{a}{2}\} = \{\frac{a}{2}; a; -\frac{a}{2}\}$.

Направляющий вектор прямой $B_1D$:

$\vec{v} = \vec{B_1D} = \{x_D - x_{B_1}; y_D - y_{B_1}; z_D - z_{B_1}\} = \{0 - a; a - 0; 0 - a\} = \{-a; a; -a\}$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми можно найти по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\frac{a}{2}) \cdot (-a) + a \cdot a + (-\frac{a}{2}) \cdot (-a) = -\frac{a^2}{2} + a^2 + \frac{a^2}{2} = a^2$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{u}| = |\vec{OC}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + a^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}$.

$|\vec{v}| = |\vec{B_1D}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|a^2|}{a\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot a\sqrt{3}} = \frac{a^2}{a^2 \sqrt{\frac{3 \cdot 3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{2}}} = \frac{1}{\frac{3}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.