Номер 8, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 48.

Условие.

6.8. Составьте уравнение плоскости, если точка $A(4; 3; -6)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную плоскость.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, точка $A(4; 3; -6)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат $O(0; 0; 0)$ на искомую плоскость. Это означает, что вектор $\vec{OA}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к данной плоскости. Также точка $A$ лежит на этой плоскости.

Сначала найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$. Он совпадает с вектором $\vec{OA}$:
$\vec{n} = \vec{OA} = (4 - 0; 3 - 0; -6 - 0) = (4; 3; -6)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

В нашем случае в качестве точки $M_0$ выступает точка $A(4; 3; -6)$, а в качестве вектора нормали — вектор $\vec{n}=(4; 3; -6)$. Подставим эти значения в формулу:
$4(x - 4) + 3(y - 3) - 6(z - (-6)) = 0$.

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:
$4(x - 4) + 3(y - 3) - 6(z + 6) = 0$
$4x - 16 + 3y - 9 - 6z - 36 = 0$
$4x + 3y - 6z - (16 + 9 + 36) = 0$
$4x + 3y - 6z - 61 = 0$.

Ответ: $4x + 3y - 6z - 61 = 0$.