Номер 7, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 48.

Условие.

6.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $ \vec{m}(-8; 4; 12) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, задается формулой:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Согласно условию, искомая плоскость перпендикулярна вектору $\vec{m} = (-8; 4; 12)$. Это означает, что вектор $\vec{m}$ является вектором нормали к плоскости. Таким образом, мы можем взять его координаты в качестве коэффициентов $A$, $B$ и $C$:

$A = -8$, $B = 4$, $C = 12$.

Также известно, что плоскость проходит через начало координат, то есть через точку $O(0; 0; 0)$. Следовательно, координаты этой точки: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Теперь подставим все известные значения в формулу уравнения плоскости:

$-8(x - 0) + 4(y - 0) + 12(z - 0) = 0$

Выполнив преобразования, получаем:

$-8x + 4y + 12z = 0$

Полученное уравнение можно упростить. Все коэффициенты в уравнении делятся на 4. Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{-8x}{4} + \frac{4y}{4} + \frac{12z}{4} = \frac{0}{4}$

$-2x + y + 3z = 0$

Для удобства можно изменить знаки всех членов уравнения, умножив его на -1. Это даст уравнение с положительным коэффициентом при $x$:

$2x - y - 3z = 0$

Оба уравнения, $-2x + y + 3z = 0$ и $2x - y - 3z = 0$, являются правильными уравнениями искомой плоскости.

Ответ: $2x - y - 3z = 0$.