Номер 13, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 13, страница 49.

Условие.

6.13. Параллельны ли плоскости:

1) $x + 3y + 4z - 6 = 0$ и $3x + 9y + 12z - 12 = 0$;

2) $x - 6y + 5z - 2 = 0$ и $2x + 3y - 4z + 6 = 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x + 3y + 4z - 6 = 0$ и $3x + 9y + 12z - 12 = 0$

Условием параллельности двух плоскостей, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, является коллинеарность их нормальных векторов $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Это означает, что координаты векторов должны быть пропорциональны.
Для первой плоскости $x + 3y + 4z - 6 = 0$ коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 3, C_1 = 4, D_1 = -6$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 3, 4)$.
Для второй плоскости $3x + 9y + 12z - 12 = 0$ коэффициенты: $A_2 = 3, B_2 = 9, C_2 = 12, D_2 = -12$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, 9, 12)$.
Проверим пропорциональность координат нормальных векторов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$ Так как отношения всех соответствующих координат равны ($\frac{1}{3}$), нормальные векторы коллинеарны. Это означает, что плоскости либо параллельны, либо совпадают.
Чтобы определить, совпадают ли плоскости, нужно проверить отношение свободных членов: $$ \frac{D_1}{D_2} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2} $$ Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$ (т.е. $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$), плоскости не совпадают. Следовательно, они параллельны.
Ответ: Да, плоскости параллельны.

2) $x - 6y + 5z - 2 = 0$ и $2x + 3y - 4z + 6 = 0$

Для первой плоскости $x - 6y + 5z - 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, -6, 5)$.
Для второй плоскости $2x + 3y - 4z + 6 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (2, 3, -4)$.
Проверим пропорциональность координат нормальных векторов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{B_1}{B_2} = \frac{-6}{3} = -2 $$ $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{-4} = -1.25 $$ Так как отношения соответствующих координат не равны ($\frac{1}{2} \neq -2 \neq -1.25$), нормальные векторы не являются коллинеарными. Следовательно, плоскости не параллельны, они пересекаются.
Ответ: Нет, плоскости не параллельны.