Номер 17, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 17, страница 49.

Условие.

6.17. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 1 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (5; -2; -1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Исходное уравнение плоскости: $x - 2y + z - 1 = 0$.

1) при симметрии относительно начала координат

При симметрии относительно начала координат $O(0, 0, 0)$, любая точка $M(x, y, z)$ плоскости переходит в точку $M'(x', y', z')$, координаты которой связаны с координатами исходной точки следующими соотношениями:
$x' = -x$
$y' = -y$
$z' = -z$
Чтобы найти уравнение образа плоскости, необходимо выразить старые координаты $(x, y, z)$ через новые $(x', y', z')$:
$x = -x'$
$y = -y'$
$z = -z'$
Подставим эти выражения в исходное уравнение плоскости:
$(-x') - 2(-y') + (-z') - 1 = 0$
Упростим полученное выражение:
$-x' + 2y' - z' - 1 = 0$
Для приведения к стандартному виду умножим все члены уравнения на $-1$:
$x' - 2y' + z' + 1 = 0$
Отбросив штрихи, так как они использовались для обозначения новых координат, получим окончательное уравнение плоскости-образа:
$x - 2y + z + 1 = 0$

Ответ: $x - 2y + z + 1 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$, любая точка $M(x, y, z)$ плоскости переходит в точку $M'(x', y', z')$, для которой выполняются следующие равенства:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
$z' = z + a_z$
Для нашего случая с вектором $\vec{a}(5; -2; -1)$ формулы преобразования координат будут:
$x' = x + 5$
$y' = y - 2$
$z' = z - 1$
Выразим исходные координаты $(x, y, z)$ через координаты образа $(x', y', z')$:
$x = x' - 5$
$y = y' + 2$
$z = z' + 1$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение плоскости $x - 2y + z - 1 = 0$:
$(x' - 5) - 2(y' + 2) + (z' + 1) - 1 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x' - 5 - 2y' - 4 + z' + 1 - 1 = 0$
$x' - 2y' + z' - 9 = 0$
Отбросив штрихи, получаем искомое уравнение плоскости:
$x - 2y + z - 9 = 0$

Ответ: $x - 2y + z - 9 = 0$