Номер 19, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 19, страница 49.

Условие.

6.19. Докажите, что уравнение плоскости, параллельной оси аппликат, имеет вид $ax + by + d = 0$. Какой вид имеет уравнение плоскости, параллельной:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что уравнение плоскости, параллельной оси аппликат, имеет вид $ax + by + d = 0$, воспользуемся общим уравнением плоскости и условием параллельности прямой и плоскости.

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали к этой плоскости.

Плоскость параллельна некоторой прямой (в данном случае, оси аппликат), если ее вектор нормали перпендикулярен направляющему вектору этой прямой. Направляющий вектор оси аппликат (оси Oz) — это вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Условием перпендикулярности векторов $\vec{n}$ и $\vec{k}$ является равенство их скалярного произведения нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$

Вычислим скалярное произведение: $(A, B, C) \cdot (0, 0, 1) = A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = C$.

Из условия перпендикулярности следует, что $C = 0$. Подставив это значение в общее уравнение плоскости, получаем:

$Ax + By + 0 \cdot z + D = 0$

Это уравнение упрощается до $Ax + By + D = 0$. Если использовать строчные буквы для коэффициентов, как в условии, получим $ax + by + d = 0$, что и требовалось доказать.

Теперь по аналогии найдем вид уравнений для плоскостей, параллельных другим осям координат.

1) оси абсцисс

Направляющий вектор оси абсцисс (оси Ox) — это вектор $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Условие параллельности плоскости и оси Ox заключается в перпендикулярности ее вектора нормали $\vec{n} = (A, B, C)$ и вектора $\vec{i}$:

$\vec{n} \cdot \vec{i} = (A, B, C) \cdot (1, 0, 0) = A$

Приравнивая скалярное произведение к нулю, получаем $A=0$. Подставив это в общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, получаем уравнение вида $By + Cz + D = 0$.

Ответ: $By + Cz + D = 0$.

2) оси ординат

Направляющий вектор оси ординат (оси Oy) — это вектор $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Условие параллельности плоскости и оси Oy заключается в перпендикулярности ее вектора нормали $\vec{n} = (A, B, C)$ и вектора $\vec{j}$:

$\vec{n} \cdot \vec{j} = (A, B, C) \cdot (0, 1, 0) = B$

Приравнивая скалярное произведение к нулю, получаем $B=0$. Подставив это в общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, получаем уравнение вида $Ax + Cz + D = 0$.

Ответ: $Ax + Cz + D = 0$.