Номер 28, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Геометрическое место точек пространства. Уравнение плоскости. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 28, страница 50.

Условие.

6.28. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM : MC = 4 : 5$, $BK : KC = 1 : 3$. Отрезки $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $D$, $DK = 10$ см. Найдите отрезок $AD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая для треугольника и секущей.

Рассмотрим треугольник $AKC$ и прямую $BMD$ как секущую. Эта прямая пересекает две стороны треугольника ($AC$ в точке $M$ и $AK$ в точке $D$) и продолжение третьей стороны ($KC$ в точке $B$).

По теореме Менелая, произведение отношений, в которых секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице:

$$ \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BK} \cdot \frac{KD}{DA} = 1 $$

Найдем значения этих отношений из условия задачи:

1. По условию $AM : MC = 4 : 5$, следовательно:

$$ \frac{AM}{MC} = \frac{4}{5} $$

2. По условию $BK : KC = 1 : 3$. Пусть $BK = x$, тогда $KC = 3x$. Длина всей стороны $BC$ будет равна сумме длин ее частей: $CB = CK + KB = 3x + x = 4x$. Тогда отношение $CB$ к $BK$ равно:

$$ \frac{CB}{BK} = \frac{4x}{x} = 4 $$

3. По условию $DK = 10$ см. Длину отрезка $AD$ нам нужно найти. Обозначим ее за $y$. Тогда:

$$ \frac{KD}{DA} = \frac{10}{y} $$

Теперь подставим все найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{4}{5} \cdot 4 \cdot \frac{10}{y} = 1 $$

Решим это уравнение относительно $y$:

$$ \frac{4 \cdot 4 \cdot 10}{5 \cdot y} = 1 $$

$$ \frac{160}{5y} = 1 $$

$$ 160 = 5y $$

$$ y = \frac{160}{5} $$

$$ y = 32 $$

Таким образом, длина отрезка $AD$ равна 32 см.

Ответ: 32 см.