Номер 25, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 25, страница 40.

Условие.

5.25. Вершинами треугольника являются точки $A(1; 0; 1)$, $B(-5; 4; 3)$, $C(0; 3; -1)$. Найдите угол $A$ треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол A треугольника ABC является углом между векторами, исходящими из вершины A, то есть между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Чтобы найти этот угол, мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами.

1. Нахождение координат векторов

Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.

Исходные данные: A(1; 0; 1), B(-5; 4; 3), C(0; 3; -1).

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-5 - 1; 4 - 0; 3 - 1) = (-6; 4; 2)$

Найдем координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (0 - 1; 3 - 0; -1 - 1) = (-1; 3; -2)$

2. Вычисление косинуса угла A

Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

В нашем случае, $\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-6) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 6 + 12 - 4 = 14$

Теперь вычислим длины (модули) векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(A) = \frac{14}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{4 \cdot 14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{2 \cdot 14} = \frac{1}{2}$

3. Нахождение угла A

Теперь, зная значение косинуса угла A, найдем сам угол:

$A = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.